“El todo es mayor que la parte” antes de Leibniz y una nueva objeción

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Leibniz dice que el axioma “El todo es mayor que la parte” fue negado por Gregorio de San Vicente en lo que respecta al ángulo de contacto, y por el cardenal Pietro Sforza Pallavicino (1607-1677) en lo que atañe al infinito.

Olaso dice en nota que lo de Gregorio de San Vicente lo comenta también Popkin, quien lo atribuye a Marandé. Yo no recuerdo esto, a pesar de haber leído la obra de Popkin sobre los escépticos.

En cuanto a lo de Pallavicino, según Olaso, no se ha podido hallar esa referencia. Lo cierto es que resultaría muy interesante averiguar en qué basaba su objeción Pallavicino, pues esa referencia al “infinito” recuerda la moderna refutación (ver  “El todo es mayor que su parte”).

También dice Leibniz que fue Hobbes el primero en demostrar el axioma que afirma que el todo es mayor que la parte:

“Defínase mayor como aquella parte igual a otro todo; considérese ahora un todo A y su parte B; puesto que todo B es igual a sí mismo  y B es una parte de A, se sigue que una parte de A es igual al todo B; por lo tanto, por definición de mayor, A es mayor que B, que era lo que había que demostrar” [en el De corpore de Hobbes]

No sé si vale la pena discutir esta demostración, puesto que no acabo de entenderla. Discutiré el axioma tal como pensaba hacerlo y después volveré a la demostración de Hobbes, que me gustaría consultar en otra parte.

(…)

Como era de suponer, la demostración de Hobbes estaba mal trascrita. Leibniz la repite en la página 91, ahora bien expresada y comprensible: ”

DEFINICIÓN: Mayor es aquello cuya parte es igual a otro todo”, lo que, como se ve, es muy diferente del sinsentido “defínese mayor como aquella parte igual a otro todo”.

Hecha esta corrección, ya se puede discutir el axioma, aunque tampoco hay mucho que añadir a lo que dije en “El todo es mayor que su parte”.

Leibniz, para demostrar el axioma, se apoya en la demostración de Hobbes y la ilustra con el ejemplo de dos líneas, lo cual nos remite, en cualquier caso, a las verdades de hecho, no a las de razón, en contra, sin duda, de las intenciones de Leibniz. En definitiva, en esto, como en casi todo lo relacionado con la geometría, Leibniz sigue, sin saberlo, intuiciones empíricas que considera verdades de razón, eternas y necesarias.

[Nota 2013: en lo anterior, lo que quiero decir es que cuando Leibniz acude a un ejemplo geométrico (dos líneas) para ilustrar sus verdades de hecho, está cometiendo un grave error, pues toma dos entes u objetos de hecho para demostrar los entes de razón. Dicho de otro modo, las propiedades de las líneas no son ajenas a cualquier mundo posible y en una geometría no euclidiana, por ejemplo, tendrán diferentes características. Es casi seguro que el ejemplo de las dos líneas de Leibniz se aplique a un mundo euclidiano pero no sea válido en un mundo no eucliadano o en una superficie como el toro o donut, por ejemplo. No recuerdo ahora cómo desarrollaba ese ejemplo Leibniz, pero es probable que las cualidades de esas dos líneas ni siquiera fueran válidas si la superficie fuera una esfera]. 

Al margen de esto, he de decir que la manera en que Leibniz demuestra que “Nada es sin razón” resulta muy poco convincente. Veo que Olaso también se da cuenta de ello. Leibniz, en efecto, demuestra el axioma recurriendo a una petitio principii (Olaso, 92).

************

Sigue en: Objeciones a “El todo es mayor que la parte” según Leibniz

 [Tomado de un comentario al ensayo de Leibniz “Demostración de las proposiciones primarias”, en las Obras selectas de Leibniz compiladas por Ezequiel Martínez de Olaso]


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4 thoughts on ““El todo es mayor que la parte” antes de Leibniz y una nueva objeción

  1. Sí, Ingrid, eso es lo que cualquiera pensaría por intuición o lógica. Sin embargo, ni la intuición ni la lógica son los mejores modos de conocimiento y sobre todo de descubrimiento. La intuición porque no es casi nada más allá de un sentimiento momentáneo, y cunado es algo más, suele ser un simple prejuicio. La intuición, por supuesto, puede acertar, pero no sirve para comprobar las cosas: después de intuirlas hay que examinarlas y demostrarlas.
    En cuanto a la lógica es un método demostrativo estupendo PARA LO QUE YA SE SABE. Es decir, sirve para certificar que una cosa, dada unas premisas previamente conocidas, es cierta.
    Entonces, en relación con lo de los todos y las partes, resulta que por intuición nos parece evidente y por lógica también si nos quedamos solamente en la definición o en cierta definición en concreto de las palabras “todos” y “partes”: “Todo es aquello que es mayor que las partes”.
    Sin embargo, después resulta que la observación de la realidad o al menos la de los conceptos matemáticos (que son bastante reales como se ve por sus muchas aplicaciones prácticas), resulta que ahí descubrimos que hay todos que NO SON mayores que sus partes. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, que, aunque parezca intuitivamente difícil de aceptar para alguien versado en matemáticas, no es mayor que el de los números pares o el de los números impares. Esos tres conjuntos mencionados son infinitos y siempre es posible poner en correspondencia un elemento del conjunto de los Naturales con un elemento del conjunto de los pares, por ejemplo. Eso es lo interesante del asunto, que la ciencia y el descubrimiento casi siempre va en contra de la intuición (que también nos dice que la Tierra no se mueve o que los antípodas deberían caminar cabeza abajo o caerse). Y también va en contra de cosas aparentemente basadas en al lógica, pero en realidad tan sólo basadas en la definición subjetiva de ciertas palabras (que se usan como premisas).

  2. ” El todo es mayor que la parte” por simple intuicion o logica se da a entender que el todo es mayor que la parte como por ejemplo no se podria decir que un brazo o una pierna es mayor que el cuerpo.

  3. No sé si entiendo del todo a qué te refieres. Lo de Hobbes yo lo interpreto como si dijera que el conjunto que incluye los números 1, 2, 3, 4,5 es mayor que el conjunto que incluye los números 2, 4, 5, puesto que una parte del primer conjunto (2,4,5) es como todo el otro conjunto (2,4,5), y todavía sobra (el 1 y el 3, que no están en el otro conjunto).
    No me parece una mala definición de “mayor”, aunque suene un poco extraña a primera vista (y con los matices imprescindibles si se tratase de conjuntos infinitos).

    Pero tu ejemplo de argumento sofista:

    “Es como si yo dijera que la parte es a veces mayor que el todo, porque la mitad de 5 es mayor a 2…”

    me parece muy bueno y muy interesante.

  4. también es cualquiera lo que dice hobbes, porque sólo demuestra que una parte de una cosa cualquiera es mayor que el todo de otra cosa cualquiera, es como si yo dijera que la parte es a veces mayor que el todo, porque la mitad de 5 es mayor a 2… bueno, no es nada

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