“El todo es mayor que la parte” antes de Leibniz y una nueva objeción

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Existe un axioma clásico que establece: “El todo es mayor que la parte”. Parece de sentido común pensar que una parte de algo tiene que ser más pequeña que ese algo completo.

Sin embargo, Leibniz dice que el axioma “El todo es mayor que la parte” fue negado por Gregorio de San Vicente en lo que respecta al ángulo de contacto, y por el cardenal Pietro Sforza Pallavicino (1607-1677) en lo que se refiere al infinito. Es decir, una parte del infinito no es más queña que el infinito.

Olaso dice en nota a Leibniz que lo de Gregorio de San Vicente lo comenta también Popkin (que lo atribuye a su vez a Marandé). Yo no recuerdo esto, a pesar de haber leído la obra de Popkin acerca de los escépticos.

En cuanto a lo de Pallavicino del infinito, según Olaso, no se ha podido hallar esa referencia. Lo cierto es que resultaría muy interesante averiguar en qué basaba su objeción Pallavicino, pues esa referencia al “infinito” recuerda la moderna refutación (ver “El todo es mayor que su parte”).

También dice Leibniz que fue Hobbes el primero en demostrar el axioma que afirma que el todo es mayor que la parte:

“Defínase mayor como aquella parte igual a otro todo; considérese ahora un todo A y su parte B; puesto que todo B es igual a sí mismo  y B es una parte de A, se sigue que una parte de A es igual al todo B; por lo tanto, por definición de mayor, A es mayor que B, que era lo que había que demostrar” [en el De corpore de Hobbes]

No sé si vale la pena discutir esta demostración, puesto que no acabo de entenderla. Discutiré el axioma tal como pensaba hacerlo y después volveré a la demostración de Hobbes, que me gustaría consultar en otra parte (nunca mejor dicho).

(…)

Como era de suponer, la demostración de Hobbes estaba mal trascrita. Leibniz la repite en la página 91, ahora bien expresada y comprensible:

DEFINICIÓN: “Mayor es aquello cuya parte es igual a otro todo”. Lo que, como se ve, es muy diferente del sinsentido “defínese mayor como aquella parte igual a otro todo”.

Hecha esta corrección, ya se puede discutir el axioma, aunque tampoco hay mucho que añadir a lo que dije en “El todo es mayor que su parte”.

Leibniz, para demostrar el axioma, se apoya en la demostración de Hobbes y la ilustra con el ejemplo de dos líneas, lo cual nos remite, en cualquier caso, a las verdades de hecho, no a las de razón, en contra, sin duda, de las intenciones de Leibniz.

En definitiva, en esto, como en casi todo lo relacionado con la geometría, Leibniz sigue, sin saberlo, intuiciones empíricas que considera verdades de razón, eternas y necesarias.

 

[Nota 2013: en lo anterior, lo que quiero decir es que cuando Leibniz acude a un ejemplo geométrico (dos líneas) para ilustrar sus verdades de hecho, está cometiendo un grave error, pues toma dos entes u objetos de hecho para demostrar los entes de razón. Dicho de otro modo, las propiedades de las líneas no son ajenas a cualquier mundo posible y en una geometría no euclidiana, por ejemplo, tendrán diferentes características. Es casi seguro que el ejemplo de las dos líneas de Leibniz se aplique a un mundo euclidiano pero que no sea válido en un mundo no eucliadano o en una superficie como el toro o el donut, por ejemplo. No recuerdo ahora cómo desarrollaba ese ejemplo Leibniz, pero es probable que las cualidades de esas dos líneas ni siquiera fueran válidas si la superficie fuera una esfera]. 

Al margen de esto, he de decir que la manera en que Leibniz demuestra que “Nada es sin razón” resulta muy poco convincente. Veo que Olaso también se da cuenta de ello. Leibniz, en efecto, demuestra el axioma recurriendo a una petitio principii (Olaso, 92).

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Sigue en: Objeciones a “El todo es mayor que la parte” según Leibniz

 [Tomado de un comentario al ensayo de Leibniz “Demostración de las proposiciones primarias”, en las Obras selectas de Leibniz compiladas por Ezequiel Martínez de Olaso]


[Escrito en 1991. Revisado en 1991 y 2016]

Leibniz

Originally posted 1991-01-20 09:27:46.

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