Objeciones a “El todo es mayor que su parte” formulado por Leibniz

Leibniz-2Leibniz, en Demostración de las proposiciones primarias, pone un ejemplo de las llamadas proposiciones de razón: “El todo es mayor que su parte”.

He comentado muchas veces esta proposición, ya sea en la formulación dada por Aquino, Leibniz, Kant o cualquier otro. Ahora intentaré hacerlo detenidamente y con precisión.

 NOTA EN 2013: escribí el texto cuando estudiaba filosofía, no sé si en la universidad o por mi cuenta, y se trata de una nota de uso privado, por lo que puede estar expresada en un lenguaje especializado o incomprensible. Por eso, aclaro, para los no expertos en filosofía, que proposiciones de razón son aquellas que son verdad en sí mismas, por su misma fuerza lógica, digamos que sin necesidad de comprobarlas en el mundo exterior. Así, si decimos que en mi calle hay 34 portales, eso no es una proposición de razón, pues para estar seguros de que hay 34 portales debemos recorrer la calle y comprobar cuántos portales hay. Sin embargo, las proposiciones de razón son verdaderas sin necesidad de ninguna comprobación, como esa que propone Leibniz y a la que yo haré algunas objeciones a continuación: “El todo es mayor que su parte”

PRIMERA OBJECIÓN
En el dominio de los entes de razón, se puede hallar un fácil ejemplo de que no siempre el todo es mayor que la parte: el conjunto de los números impares es una parte del conjunto de los números enteros y, no obstante, no es menor, sino igual: ambos son infinitos.

En efecto, siempre se podrá emparejar un número de la parte (los números impares) con uno del todo (los números enteros). Hay que notar que resulta curioso que una proposición de razón no sirva para el mundo de los entes de razón.

NOTA en 2013: los entes de razón son, por ejemplo, los números y otras criaturas matemáticas, que no existen en el mundo real, aunque se pueden aplicar a él. La última afirmación: “Hay que notar que resulta curioso que una proposición de razón no sirva para el mundo de los entes de razón”, se refiere a que las proposiciones de razón se pueden aplicar tanto al mundo de los entes de razón (los de las matemáticas) como al de los entes de hecho (las cosas materiales, por ejemplo, como una manzana concreta).  Es por esa razón que resulta curioso que exista una excepción a la proposición de razón “El todo es mayor que su parte” precisamente en el mundo de los entes de razón. Más abajo, en una respuesta a un comentario a esta entrada explico con más detalle por qué el todo no es siempre mayor que la parte en el dominio de las matemáticas.

 

SEGUNDA OBJECIÓN
En cuanto al mundo de los entes de hecho, se me ocurre un ejemplo a vuelapluma:

Sea el todo: “Los habitantes de la ciudad A”,

Sea la parte: “Los habitantes varones de la ciudad A”.

Intuitivamente parece claro que, en este caso, la parte ha de ser menor que el todo.

Pero esto sólo sucede si conocemos a todos los habitantes de la ciudad A.

Dicho de otro modo, sólo es cierto si sabemos que al menos hay una mujer en la ciudad A.

[NOTA 2013: puesto que si en la ciudad A no hay ninguna mujer, entonces todos son hombres y entonces el conjunto de todos los ciudadanos de la ciudad A (el todo) es del mismo tamaño que el conjunto de todos los ciudadanos varones de la ciudad A (la parte)]

Con esto, que puede parecer ingenuo a primera vista, quiero decir:

a) La distinción entre el todo y la parte es inductiva
Es decir, hay ciudades (casi todas ellas) en las que las propiedades del todo y la parte, definidas a la manera de Leibniz, son perfectamente aplicables, pero hay otras, por ejemplo la comunidad de monjes del monte Athos, en las que no lo son.

b) Debido a lo anterior, se sigue que la aplicación del axioma cuando las variables [“todos” y “partes”] son sustituidas por ciertas constantes [ejemplos concretos] depende de la definición del dominio de aplicación (en este caso: “ciudad A”, “Madrid” o “Comunidad del monte Athos”], de tal modo que no nos hallamos ante un axioma efectivo en todos los casos posibles.

En cierto modo, esta objeción tiene que ver con la de Carnéades al silogismo.

[NOTA 2013: esto no lo explico porque ahora mismo ni yo recuerdo a qué me refería exactamente. Pero lo pensaré]

 

TERCERA OBJECIÓN

Me pregunto si es válida esta tercera objeción al axioma, que he pensado ahora:

Sea el todo: el conjunto de todos los vasos de colores.

Sea la parte: el color azul (puesto que hay vasos azules)

En este caso, la parte es probablemente mayor que el todo, aunque se produce también una especie de solapamiento entre los vasos, el color azul y los objetos azules.

No estoy seguro de la validez de esta objeción, pues se podría decir:

No es posible definir el color azul como parte del conjunto de los vasos de colores. En todo caso habría que decir “los vasos azules” o “el color de los vasos azules”.

Sin embargo, también se puede argumentar lo siguiente:

El todo es: “los lápices de colores”

La parte es: “el grafito”

Si tenemos el conjunto de los lápices de colores y tomamos un elemento de tal conjunto (un lápiz concreto), podemos decir perfectamente que el grafito es una parte de ese lápiz y la madera otra parte (la tercera parte fundamental sería el pegamento que las une).

Tal vez esta tercera objeción podría relacionarse con la segunda.

Por otra parte, tengo la sensación de que el argumento clásico de la Escuela de los Nombres (“Un caballo blanco no es un caballo”) podría ser aplicado aquí.

[NOTA 2013: estos argumentos me parecen bastante sutiles y me asombra que se me hayan ocurrido a mí. Tendría que examinarlos en detalle y volver a familiarizarme con el pensar filosófico, pero a primera vista me parece que son correctos o casi correctos. Acerca del argumento de la Escuela de los nombres que menciono al final, me refiero al célebre argumento de Gongsun Long que afirma: “Un caballo blanco no es un caballo”.]


Leibniz

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6 pensamientos en “Objeciones a “El todo es mayor que su parte” formulado por Leibniz

  1. Hola Seba,
    Respecto a lo que dices de que el conjunto de los números enteros es más grande que el de los impares porque lo incluye, los matemáticos no lo consideran así. Con buenas razones. Intentaré contarlo, pero tal vez lo haga mal, pues no soy matemático:

    Aparentemente, el conjunto de los enteros es el doble de grande que el de los impares. Sin embargo, eso que sí funciona para los conjuntos finitos, deja de tener sentido con el infinito, pues 2 multiplicado por infinito es igual a infinito.
    Es decir, que son iguales a pesar de ser el de los enteros aparentemente el doble de grande.
    Del mismo modo el conjunto de los números naturales terminados en 3 es también infinito y por tanto igual al de los naturales. A pesar de que haya números terminados en 1, 2, 4, 5, 6,7,8,9 (y no en 3), pasa lo mismo que antes: 9 (la cantidad de números que NO terminan en 3) multiplicado por infinito da infinito también.
    Habría que tratar aquí el asunto de los números infinitos numerables y no numerables.
    Los enteros y los impares son ambos numerables, que quiere decir que se pueden poner en orden relacionándolos mediante una biyección entre sus elementos y los números naturales.
    El propio conjunto de los números naturales es infinito numerable, pues se puede poner en relación biyectiva consigo mismo: el 1 con el 1, el 2 con el 2, el 3 con el 3.
    Si hacemos esto mismo con los impares:
    el 1 con el 1, el 3 con el 2, el 5 con el 3… etcétera, vemos lo que se dijo antes que es tan infinito como el otro.
    Es decir, siempre habrá un número impar que asociar al siguiente número natural.
    Ahora bien, también existen los números infinitos no numerables, los transinfinitos de Cantor y otras cosas que hacen muy interesante el asunto, pero que haría esta respuesta muy larga.

    En cualquier caso, así es como se entiende en matemáticas la definición de infinito, aunque intuitivamente nos pueda parecer que un conjunto es el doble de grande que el otro o que lo contiene, eso no tiene sentido con los infinitos numerables: el infinito no es un todo que pueda contener o ser contenido (y menos por algo que también es infinito).

    Respecto a la segunda objeción, tienes razón en que en el ejemplo que pongo la parte es el todo, pero precisamente a eso me refiero, a la diferencia entre lo deductivo y lo inductivo.
    Si sabemos quiénes habitan la ciudad, entonces también sabemos que son todos varones y que en consecuencia “habitantes” y “habitantes varones” es lo mismo (ahí aplicamos sin problema la deducción).
    Pero si no sabemos exactamente quienes habitan la ciudad, entonces podemos encontrarnos con la sorpresa de que algo aparentemente cierto (que hay más habitantes que habitantes varones) no lo es. En este segundo caso, el del mundo real cotidiano aplicamos la inducción.

    Creo que esta diferencia, que quizá expliqué un poco mal, da lugar a consecuencias muy interesantes que intentaré desarrollar en algún momento.

    Un saludo y gracias por el comentario

  2. pero un infinito (el de los números enteros) es más grande que el otro (el de los números impares), porque lo incluye.

    y en la segunda objeción, la parte es igual al todo, la parte es el todo.

    igual ni en pedo vas a leer esto.

  3. No me parece ahora tan difícil de entender la demostración de Hobbes, aunque no estoy del todo seguro acerca de si es realmente una demostración, o si incluye una petición de principio al definir mayor. Pero , como se ve, más adelante, descubrí un error en la exposición del argumento de Hobbes.

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